Unit Ball

释义 Definition

unit ball（单位球/单位球体）：在给定的范数或度量下，所有“长度（范数）不超过 1”的点组成的集合。最常见的是欧几里得范数（ℓ₂），此时在二维是半径为 1 的圆盘，在三维是半径为 1 的球体。不同范数下形状会不同（如 ℓ₁ 是菱形/八面体，ℓ∞ 是正方形/立方体）。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈjuːnɪt bɔːl/

例句 Examples

In ℝ², the unit ball is the disk of radius 1.
在二维实数空间中，单位球就是半径为 1 的圆盘。

The optimization problem restricts solutions to the unit ball under the ℓ₂ norm to prevent unbounded growth.
该优化问题在 ℓ₂ 范数下把解限制在单位球内，以防止解无限增大。

词源 Etymology

unit 源自拉丁语 unitas（“一、统一”），ball 源自日耳曼语系中表示“球状物”的词。作为数学术语，unit ball 是在分析学、泛函分析与几何中逐步固定下来的表达，用来指“由范数界定的半径为 1 的球形邻域/集合”。

相关词 Related Words

• Norm
• Unit Sphere
• Euclidean Ball
• Open Ball
• Closed Ball
• Radius
• Metric
• Convex
• Banach Space

文学与著作中的用例 Literary Works

• Convex Optimization（Boyd & Vandenberghe）：在凸集、范数约束与可行域讨论中频繁出现单位球。
• Introductory Functional Analysis with Applications（Kreyszig）：用于解释范数空间中的邻域、收敛与有界性。
• Functional Analysis（Walter Rudin）：在赋范线性空间、算子理论的基本概念中涉及单位球。
• Partial Differential Equations（Lawrence C. Evans）：常以单位球/单位球域作为局部估计与正则性论证的标准区域。